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新人教版数学八下练*:资源拓展卷18.2.3正方形

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18.2.3 正方形

基础闯关全练

拓展训练

1.顺次连接四边形 ABCD 各边中点得到四边形 EFGH,要使四边形 EFGH 是正方形,需要添加的

条件是( )

A.AD∥BC,AC=BD

B.AC=BD

C.AC⊥BD,AC=BD

D.AD=AB

答案 C 由题意知,四边形 EFGH 是*行四边形,由正方形的判定方法知选 C.

2.如图,下列四组条件中,能判定?ABCD 是正方形的有( ) ①AB=BC,∠A=90°;②AC⊥BD,AC=BD;③OA=OD,BC=CD;④∠BOC=90°,∠ABD=∠DCA.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

答案 D ①根据有一个角是直角且有一组邻边相等的*行四边形是正方形,能判定?ABCD

是正方形,故①正确; ②由对角线互相垂直的*行四边形是菱形,对角线相等的*行四边形是矩形,既是菱形又是 矩形的四边形是正方形,能判定?ABCD 是正方形,故②正确; ③由四边形 ABCD 是*行四边形,可得 AC 与 BD 互相*分,而 OA=OD,所以 AC=BD,对角线相等的 *行四边形是矩形,有一组邻边相等的*行四边形是菱形,既是矩形又是菱形的四边形是正 方形,能判定?ABCD 是正方形,故③正确; ④∠BOC=90°,根据对角线互相垂直的*行四边形是菱形,可得?ABCD 是菱形;由四边形 ABCD 是*行四边形,可得 AC 与 BD 互相*分,AB∥CD,则∠ABD=∠CDB=∠DCA,所以 OC=OD,又对角线 相等的*行四边形是矩形,既是菱形又是矩形的四边形是正方形,能判定?ABCD 是正方形,故 ④正确. 3.如图,在矩形 ABCD 中,M、N 分别是 AD、BC 的中点,E、F 分别是边 BM、CM 的中点,当 AB∶AD= 时,四边形 MENF 是正方形.

答案 1∶2 解析 ∵AB∶AD=1∶2,AM=DM,AB=CD, ∴AB=AM=DM=DC,
1

∵∠A=∠D=90°, ∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°, ∴∠BMC=90°. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴∠MBC=∠MCB=45°, ∴BM=CM. ∵N、E、F 分别是 BC、BM、CM 的中点, ∴BE=CF=ME=MF,NF∥BM,NE∥CM, ∴四边形 MENF 是*行四边形, ∵ME=MF,∠BMC=90°, ∴四边形 MENF 是正方形,
能力提升全练
拓展训练
1.如图,正方形 ABCD 的边长为 3,将等腰直角三角板的 45°角的顶点放在 B 处,两边与 CD 及 其延长线交于 E,F,若 CE=1,则 BF 的长为( )

A.2

B.3

C.2

D.

答案 B 如图,将△ BCE 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△ BAM.设 BF 与 AD 交于点 G.

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD=AD=3,∠ABC=90°, ∵∠GBE=45°, ∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=45°=∠GBM, ∵BG=BG,∠GBM=∠GBE,BE=BM,
2

∴△ BGM≌△BGE, ∴EG=GM=AM+AG=AG+CE. 设 AG=x,则 DG=3-x,GE=1+x, 在 Rt△ DGE 中,∵GE2=DG2+DE2, ∴(3-x)2+22=(x+1)2,

∴x= ,

∴AG=DG, 易证△ AGB≌△DGF,

∴BG=FG=

=,

∴BF=2BG=3 .故选 B.

2.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 E、F 分别在边 AD、CD 上,若∠EBF=45°,则△ EDF 的周长

等于

.

答案 4 解析 将△ BCF 绕点 B 逆时针旋转 90°到△ BAC'的位置, ∵∠BAC'+∠BAD=180°,
∴C'、A、D 三点共线. ∵∠ABC=90°,∠EBF=45°, ∴∠FBC+∠EBA=45°. ∵∠FBC=∠C'BA, ∴∠C'BA+∠EBA=45°, ∴∠EBF=∠EBC'=45°. 在△ EBF 和△ EBC'中,
∴△ EBF≌△EBC', ∴EF=EC', 又易知 CF=AC',
3

∴EF=EA+AC'=EA+FC, ∴△ DEF 的周长=DE+DF+EF=DA+DC=4. 3.如图①,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,分别以 AB,BC 为一边向外作正方形 ABFG,BCED,连接 AD,CF,AD 与 CF 交于点 M. (1)求证:△ ABD≌△FBC; (2)如图②,已知 AD=6,求四边形 AFDC 的面积; (3)在△ ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2+b2.在任意△ ABC 中,c2=a2+b2+k,就 a=3,b=2 的情形,探究 k 的取值范围(只需写出结论即可).

解析 (1)证明:∵四边形 ABFG,BCED 都是正方形,

∴AB=FB,BC=BD,∠ABF=∠CBD=90°, ∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC, 即∠CBF=∠ABD,∴△ ABD≌△FBC(SAS). (2)由(1)知△ ABD≌△FBC, ∴CF=AD=6,∠DAB=∠CFB. 设 CF 交 AB 于点 N. ∵∠ABF=90°,∴∠CFB+∠BNF=90°. 又∵∠DAB=∠CFB,∠BNF=∠ANM, ∴∠DAB+∠ANM=90°,∴AD⊥CF,

∴四边形 AFDC 的面积为 AD·CF= ×6×6=18.

(3)k 的取值范围为-12<k<12.

4.如图 1,在正方形 ABCD 的外侧,作两个等边三角形 ADE 和 DCF,连接 AF,BE.

(1)请判断:AF 与 BE 的数量关系是

,位置关系是

;

(2)如图 2,若将条件“两个等边三角形 ADE 和 DCF”变为“两个等腰三角形 ADE 和 DCF,且

EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;

(3)若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形,且 AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直

接写出你的判断.

解析 (1)AF=BE;AF⊥BE.
4

(2)结论仍然成立. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴BA=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°.
在△ EAD 和△ FDC 中,
∴△ EAD≌△FDC.∴∠EAD=∠FDC. ∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA, 即∠BAE=∠ADF.
在△ BAE 和△ ADF 中,
∴△ BAE≌△ADF. ∴BE=AF,∠ABE=∠DAF. ∵∠DAF+∠BAF=90°,∴∠ABE+∠BAF=90°, ∴AF⊥BE. (3)结论都能成立.
模拟全练
拓展训练
1.如图,在正方形 ABCD 中,AD=5,点 E、F 是正方形 ABCD 内的两点,且 AE=FC=3,BE=DF=4,则 EF 的长为( )

A.

B.

C.

D.

答案 D 延长 AE 交 DF 于 G,如图.
∵AB=5,AE=3,BE=4, ∴△ ABE 是直角三角形, 同理,△ DFC 是直角三角形, 可得△ AGD 是直角三角形, ∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE,
5

∴∠GAD=∠EBA, 同理,∠ADG=∠BAE,

在△ AGD 和△ BEA 中,

∴△ AGD≌△BEA(ASA),

∴AG=BE=4,DG=AE=3,

∴EG=4-3=1,同理可得,GF=1,

∴EF=

= .故选 D.

2.如图,在正方形 ABCD 中,AB=2,延长 AB 至点 E,使得 BE=1,EF⊥AE,EF=AE.分别连接 AF,CF,M

为 CF 的中点,则 AM 的长为( )

A.2

B.3

C.

D.

答案 D 连接 AC,

∵四边形 ABCD 是正方形,

∴∠BAC=45°.

∵EF⊥AE,EF=AE,

∴△ AEF 是等腰直角三角形,

∴∠EAF=45°,

∴∠CAF=90°.

∵AB=BC=2,

∴AC=

=2 .

∵AE=EF=AB+BE=2+1=3,

∴AF=

=3 ,

∴CF=

=

∵M 为 CF 的中点,

=.

∴AM= CF= .故选 D.

3.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,连接 AC,BD,相交于点 O,CE *分∠ACD 交 BD 于点 E,则

DE=

.

6

答案 -1

解析 过 E 作 EF⊥DC 于 F,
∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵CE *分∠ACD 交 BD 于点 E, ∴EO=EF,
在 Rt△ COE 和 Rt△ CFE 中,
∴Rt△ COE≌Rt△ CFE(HL), ∴CO=FC, ∵正方形 ABCD 的边长为 1, ∴AC= ,
∴CO= AC= ,

∴CF=CO= ,

易证△ DEF 是等腰直角三角形.

∴EF=DF=DC-CF=1- ,

∴DE=

= -1.

4.如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以对

角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,……,记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,按上述方法所作的正

方形的边长依次为 a2,a3,a4,…,an,则 a101=

.

答案 250 解析 由勾股定理得 a2= =( )1;a3=2=( )2;a4=2 =( )3;……故 a101=( )100=250. 5.(2016 辽宁丹东东港新城中学第一次月考,16,★★☆)如图,以边长为 2 的正方形 CDEF 的 中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于 A,B 两点,则线段 AB 长度的最
7

小值为

.

答案
解析 在正方形 CDEF 中,
∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD, ∵OA⊥OB, ∴∠AOB=90°, ∴∠AOD+∠DOB=90°,又∠COA+∠AOD=90°, ∴∠COA=∠DOB. 在△ COA 和△ DOB 中,

∴△ COA≌△DOB(ASA),

∴OA=OB,

∵∠AOB=90°,

∴△ AOB 是等腰直角三角形,

由勾股定理得 AB=

= OA,

要使 AB 最短,只要 OA 最短即可.

根据垂线段最短,当 OA⊥CD 时,OA 最短,

此时 CA=DA,又 O 为 DF 的中点,

∴OA= CF=1,∴AB= ,故答案为 .

中考全练

拓展训练
1.一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形. 在满足条件的所有分割中,若知道九个小矩形中 n 个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩 形的面积,则 n 的最小值是( )

A.3

B.4

C.5

D.6

答案 A 如图,设正方形①的边长为 a,正方形②的边长为 b,矩形③的长为 c,矩形④的宽为

8

d,则大矩形的长和宽分别是(a+c+b)和(a+d+b),a+c 为矩形③的周长的一半,a+d 为矩形④的 周长的一半,于是只需知道这两个矩形的周长和正方形②的周长即可算出大矩形面积.故选 A.
2.如图,在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中,点 G 在 CD 上,DE=2,将正方形 DEFG 绕 D 点顺时针旋 转 60°,得到正方形 DE'F'G',此时点 G'在 AC 上,连接 CE',则 CE'+CG'=( )

A. + C. +

B. +1 D. +

答案 A 过点 G'作 G'M⊥DC 于点 M,过点 E'作 E'P⊥DC 于点 P.

由旋转的知识可得∠EDE'=60°,DE'=DE=2. ∵四边形 DEFG、DE'F'G'是正方形, ∴∠G'DE'=∠EDG=90°,DG'=DE'=2. ∴∠E'DG=30°,∠MDG'=60°. 在 Rt△ DG'M 中,由 DG'=2,∠MDG'=60°, 可得 G'M= ,DM=1. ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线,∴∠DCG'=45°. 又∵G'M⊥DC, ∴△ CMG'是等腰直角三角形,∴MG'=MC= . ∴CG'= ,CD=DM+CM=1+ . 在 Rt△ DE'P 中,由 DE'=2,∠E'DG=30°, 可得 E'P=1,DP= .∴CP=CD-DP=1. 在 Rt△ CE'P 中,E'P=PC=1,由勾股定理可得 CE'= . ∴CE'+CG'= + ,故选 A. 3.如图所示,正方形 ABCD 的面积为 12,△ ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内,点 P 是 AC 上的一点,则 PD+PE 的和的最小值为( )
9

A.

B.2

C.2

D.

答案 B ∵S 正方形 ABCD=12,∴AB=2 ,∵△ ABE 是等边三角形,∴AB=BE=2 ,∵点 B、D 关于对

角线 AC 对称,∴PD+PE 的和的最小值即为 BE 的长,故选 B. 4.如图,将 n 个边长都为 2 的正方形按如图所示摆放,点 A1,A2,…,An 分别是正方形的中心,则 这 n 个正方形重叠部分的面积之和是( )

-

A.n

B.n-1

C.

D.

答案 B 由题意可得一个阴影部分的面积等于正方形的面积的 ,即是 ×4=1,
5 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 1×4, n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为 1×(n-1)=n-1. 5. 如 图 为 某 城 市 部 分 街 道 示 意 图 , 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 , 点 G 在 对 角 线 BD 上 ,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1 500 m, 小 敏 行 走 的 路 线 为 B→A→G→E, 小 聪 行 走 的 路 线 为 B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为 3 100 m,则小聪行走的路程为
m.

答案 4 600 解析 连接 GC,∵四边形 ABCD 为正方形,∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∠BCD=90°.

在△ ADG 与△ CDG 中,
10

∴△ ADG≌△CDG,∴AG=GC.

又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°,

∴四边形 GFCE 是矩形,∴GC=EF,∴AG=EF.

∵∠CDG=45°,GE⊥CD,∴△ GED 是等腰直角三角形,

∴DE=GE.

小敏走的路程为 AB+AG+GE;小聪走的路程为 AB+AD+DE+EF,对比发现小聪比小敏多走了 AD,故

小聪走的路程为 4 600 米.

6.如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE

的中点,连接 PG,则 PG 的长为

.

答案

解析 如图,过 P 作 PH⊥DG,H 为垂足,过 E 作 EJ⊥AD,J 为垂足,设 EJ 与 PH 交于 I.因为四边
形 ABCD 和四边形 EFCG 都是正方形,所以 PH∥AD,四边形 EGDJ 和四边形 EGHI 是矩形,所以 DJ=EG=1, 所 以 AJ=AD-DJ=3-1=2. 又 因为 P 为 AE 的 中 点 , 所 以 I 为 EJ 的 中 点 , 所 以

PI= AJ=1,IE= JE= DG=1.因为四边形 EGHI 是矩形,所以 HI=EG=1,HG=IE=1,所以 PH=PI+IH=2.

在 Rt△ PGH 中,PG=

=

=.

7.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,AC,BD 是对角线.将△ DCB 绕点 D 顺时针旋转 45°得到

△ DGH,HG 交 AB 于点 E,连接 DE 交 AC 于点 F,连接 FG,则下列结论:

①四边形 AEGF 是菱形;②△ AED≌△GED;

③∠DFG=112.5°;④BC+FG=1.5.

其中正确的结论是

.(填写所有正确结论的序号)

答案 ①②③
11

解析 由题意可知△ DGH≌△DCB,
∴DH=DB,∠DHG=∠DBC=45°,∠DGH=∠DCB=90°,DG=DC=AD, 又∵∠DAC=45°, ∴∠DAC=∠DHG, ∴AF∥EG. 在 Rt△ AED 和 Rt△ GED 中,ED=ED,AD=GD, ∴Rt△ AED≌Rt△ GED, ∴∠ADE=∠GDE,故②正确. 在△ ADF 与△ GDF 中,AD=GD,∠ADF=∠GDF,FD=FD, ∴△ ADF≌△GDF, ∴AF=GF,∠DGF=∠DAF=45°, 又∵∠DBA=45°, ∴FG∥AE, ∴四边形 AEGF 是*行四边形, 又∵AF=GF, ∴*行四边形 AEGF 是菱形,故①正确.
由上知∠GDF= ∠ADB=22.5°,∠DGF=45°,
∴∠DFG=180°-∠GDF-∠DGF=112.5°,故③正确. 由上知 FG=AE=HA=HD-AD=BD-AD= -1,∴BC+FG=1+ -1= ,故④不正确.
核心素养全练

拓展训练

1.在*面直角坐标系中,点 A 和点 B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上,OA=OB=a,以线段 AB 为边

在第一象限作正方形 ABCD,CD 的延长线交 x 轴于点 E,再以 CE 为边作第二个正方形 ECGF,……,

依此方法作下去,则第 n 个正方形的边长是

.

答案

a·2n-1

解析 ∵OA=OB,∠AOB=90°,
∴△ AOB 是等腰直角三角形, ∴第一个正方形的边长 AB= a. ∵∠DAE=180°-45°-90°=45°,∠ADE=90°, ∴△ ADE 是等腰直角三角形, ∴AD=DE,
12

∴第二个正方形的边长 CE=CD+DE=2AB. …… 依题中方法作下去,后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的 2 倍, 所以,第 n 个正方形的边长=2n-1AB= a·2n-1. 2.操作示例: 对于边长为 a 的两个正方形 ABCD 和 EFGH,按图甲所示的方式摆放,在沿虚线 BD,EG 剪开后, 可以按图中所示的移动方式拼接为图甲中的四边形 BNED. 从拼接的过程容易得到结论: ①四边形 BNED 是正方形; ②S +S =S . 正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 BNED 实践与探究: (1)对于边长分别为 a,b(a>b)的两个正方形 ABCD 和 EFGH,按图乙所示的方式摆放,连接 DE, 过点 D 作 DM⊥DE,交 AB 于点 M,过点 M 作 MN⊥DM,过点 E 作 EN⊥DE,MN 与 EN 相交于点 N. ①证明四边形 MNED 是正方形,并用含 a,b 的代数式表示正方形 MNED 的面积; ②在图乙中,将正方形 ABCD 和正方形 EFGH 沿虚线剪开后,能够拼接为正方形 MNED,请简略说 明你的拼接方法(类比图甲,用数字表示对应的图形); (2)对于 n(n 是大于 2 的自然数)个任意的正方形,能否通过若干次拼接,将其拼接成为一个正 方形?请简要说明你的理由.
解析 (1)①由作图的过程可知四边形 MNED 是矩形. ∵∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°, ∴∠ADM=∠CDE. 在 Rt△ ADM 与 Rt△ CDE 中, ∵∠A=∠DCE=90°,AD=CD,∠ADM=∠CDE, ∴Rt△ ADM≌Rt△ CDE,∴DM=DE. ∴四边形 MNED 是正方形. ∵DE2=CD2+CE2=a2+b2, ∴正方形 MNED 的面积为 a2+b2. ②过点 N 作 NP⊥BE,垂足为 P,如图,可以证明图中 6 与 5 位置的两个三角形全等,4 与 3 位置 的两个三角形全等,2 与 1 位置的两个三角形也全等. 所以将 6 放到 5 的位置,4 放到 3 的位置,2 放到 1 的位置,恰好拼接为正方形 MNED.
13

(2)能.

理由:由上述的拼接过程可以看出:任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形,而拼接出的

这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形,……由此可知:对于 n 个任意的正方形,

可以通过(n-1)次拼接,得到一个正方形.

3.在?ABCD 中,AC,BD 交于点 O,过点 O 作直线 EF,GH,分别交*行四边形的四条边于 E,G,F,H

四点,连接 EG,GF,FH,HE.

(1)如图①,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由;

(2)如图②,当 EF⊥GH 时,四边形 EGFH 的形状是

;

(3)如图③,在(2)的条件下,若 AC=BD,则四边形 EGFH 的形状是

;

(4)如图④,在(3)的条件下,若 AC⊥BD,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由.

解析 (1)四边形 EGFH 是*行四边形.理由如下:

∵?ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O, ∴易证△ BOG≌△DOH,△ AOE≌△COF, ∴GO=HO,EO=FO. ∴四边形 EGFH 是*行四边形. (2)菱形. (3)菱形. (4)四边形 EGFH 是正方形.理由如下: ∵AC=BD,∴*行四边形 ABCD 是矩形. 又∵AC⊥BD,∴矩形 ABCD 是正方形, ∴∠BOC=90°,∠OBG=∠OCF=45°,OB=OC. ∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°, ∴∠GOB+∠BOF=90°, 又∠COF+∠BOF=90°, ∴∠GOB=∠COF. ∴△ BOG≌△COF, ∴OG=OF. 同理,HO=OE,∴GH=EF. 由(3)知四边形 EGFH 是菱形. 又∵EF=GH,∴菱形 EGFH 是正方形.

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