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全国初中数学竞赛辅导(初1)第17讲二元一次不定方程的解法

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第十七讲二元一次不定方程的解法 我们知道,如果未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它 的解往往是不确定的,例如方程 x-2y=3, 方程组 等, 它们的解是不确定的.像这类方程或方程组就称为不定方程或不 定方程组. 不定方程(组)是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富.我国对不定方 程的研究已延续了数千年, “百鸡问题” 等一直流传至今, “物不知其数” 的解法被称为中国剩余定理.*年来,不定方程的研究又有新的进展.学 *不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数 学解题的技能. 我们先看一个例子. 例小张带了 5 角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块 3 分,铅笔每支 1 角 1 分, 问 5 角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔? 解设小张买了 x 块橡皮,y 支铅笔,于是根据题意得方程 3x+11y=50. 这是一个二元一次不定方程.从方程来看,任给一个 x 值,就可以得到一 个 y 值,所以它的解有无数多组. 但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数, 而橡皮的块数与 铅笔的支数只能是正整数或零,所以从这个问题的要求来说,我们只要求 这个方程的非负整数解. 因为铅笔每支 1 角 1 分,所以 5 角钱最多只能买到 4 支铅笔,因此,小张 买铅笔的支数只能是 0,1,2,3,4 支,即 y 的取值只能是 0,1,2,3, 4 这五个. 若 y=3,则 x=17/3,不是整数,不合题意; 若 y=4,则 x=2,符合题意. 所以,这个方程有两组正整数解,即 也就是说,5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔,或者 13 块橡皮与 1 支 铅笔. 像这个例子, 我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时,那么 它的解就确定了. 但是否只要把解限制在非负整数时,二元一次不定方程 的解就一定能确定了呢?不能!现举例说明. 例求不定方程 x-y=2 的正整数解. 解我们知道:3-1=2,4-2=2,5-3=2,…,所以这个方程的正整数解有无数 组,它们是 其中 n 可以取一切自然数. 因此,所要解的不定方程有无数组正整数解,它的解是不确定的. 上面关于橡皮与铅笔的例子, 我们是用逐个检验的方法来求它们的非 负整数解的, 但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解 的时候就会遇到麻烦.那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解 呢?我们现在就来研究这个问题,先给出一个定理. 定理如果 a,b 是互质的正整数,c 是整数,且方程 ax+by=c ① 有一组整数解 x0,y0 则此方程的一切整数解可以表示为 其中 t=0,±1,±2,±3,…. 证因为 x0,y0 是方程①的整数解,当然满足 ax0+by0=c,② 因此 a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c. 这表明 x=x0-bt,y=y0+at 也是方程①的解. 设 x',y'是方程①的任一整数解,则有 ax'+bx'=c. ③ ③-②得 a(x'-x0)=b'(y'-y0).④ 由于(a, b)=1, 所以 a|y'-y0,即 y'=y0+at,其中 t 是整数.将 y' =y0+at 代入④,即得 x'=x0-bt.因此 x', y'可以表示成 x=x0-bt,y=y0+at 的 形式,所以 x=x0-bt,y=y0+at 表示方程①的一切整数解,命题得证. 有了上述定理,求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例 1 求 11x+15y=7 的整数解. 解法 1 将方程变形得 因为 x 是整数,所以 7-15y 应是 11 的倍数.由观察得 x0=2,y0=-1 是这个 方程的一组整数解,所以方程的解为 解法 2 先考察 11x+15y=1,通过观察易得 11×(-4)+15×(3)=1, 所以 11×(-4×7)+15×(3×7)=7, 可取 x0=-28,y0=21.从而 可见,二元一次不定方程在无约束条件的情况下,通常有无数组整数解, 由于求出的特解不同, 同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包 含的全部解是一样的.将解中的参数 t 做适当代换,就可化为同一形式. 例 2 求方程 6x+22y=90 的非负整数解. 解因为(6,22)=2,所以方程两边同除以 2 得 3x+11y=45.① 由观察知,x1=4,y1=-1 是方程 3x+11y=1 ② 的一组整数解,从而方程①的一组整数解为 由定理,可得方程①的一切整数解为 因为要求的是原方程的非负整数解,所以必有 由于 t 是整数,由③,④得 15≤t≤16,所以只有 t=15,t=16 两种可能. 当 t=15 时,x=15,y=0;当 t=16 时,x=4,y=3.所以原方程的非负整数 解是 例 3 求方程 7x+19y=213 的所有正整数解. 分析这个方程的系数较大,用观察法去求其特殊解比较困难,碰到这种情 况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小,最后再用观察法求得其解. 解用方程 7x+19y=213 ① 的最小系数 7 除方程①的各项,并移项得 因为 x,y 是整数,故 3-5y/7=u 也是整数,于是 5y+7u=3.T儆*5 除此式 的两边得 2u+5v=3.④ 由观察知 u=-1,v=1 是方程④的一组解.将 u=-1,v=1 代入③得 y=2.y=2 代入②得 x=25.于是方程①有一组解 x0=25,y0=2,所以它的一切解为 由于要求方程的正整数解,所以 解不等式,得 t 只能取 0,1.因此得原方程的正整数解为 当方程的系数较大时,我们还可以用辗转相除法求其特解,其解法结 合例题说明. 例 4 求方程 37x+107y=25 的整数解. 解 107=2×37+33, 37=1×33+4, 33=8×4+1. 为用 37 和 107 表示 1,我们把上述辗转相除过程回代,得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×(37-33)=9×33-8×37


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